Наши конкурсы
Бесплатные конкурсы для педагогов и детей

Программа элективного курса по математике, 8-9 класс

Решение задач с целыми числами (программа элективного курса по математике)
Автор: Мухаметзянова Гюзель Равильевна, учитель математики МАОУ" СОШ№12 с УИОП», г. Стерлитамак, Республика Башкортостан
Описание материала: Предлагаемый элективный курс полезен для подготовки учащихся к школьным и городским олимпиадам.
Предпрофильный элективный курс для учащихся 8–9 классов предназначен для визуализации изучаемых в курсе алгебры задач с целыми числами и является пропедевтическим по отношению к профильными курсам математической ориентации. Он содержит познавательный, воспитательный и обучающий материал, дополняет и углубляет базовый курс алгебры, не нарушая его целостности.
Цель элективного курса – формирование у школьников положительной мотивации и интереса к математике.
Основные задачи курса:
I. - систематизировать знания о целых числах;
-формировать качества мышления, необходимые для математической деятельности и необходимые для повседневной жизни;
-научить решать логические задачи различными способами;
II. - развить упорство в достижении цели, волю, твердость характера;
III. - развить у учащихся интерес к решению различных задач;
- развить способность учащихся к математической деятельности;
Раздел 1. Занимательные задачи с целыми числами (4 часа).
Целые числа. Свойства целых чисел. Исторические сведения.
Раздел 2 . Четность и нечетность чисел (2 часа). Четные и нечетные числа; числа одинаковой четности и разной четности. Свойства четных и нечетных чисел.
Раздел 3. Делимость чисел (4 часа). Определение, делимое, делитель, кратное. Признаки делимости. Теорема Ферма.
Раздел 4. Решение логических задач (2 часа).
Тематическое планирование
Раздел 1. Занимательные задачи с целыми числами.
1. Восстановление знаков действий - 1 час
Определение целого числа. Свойства сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел. Задачи на запись натуральных чисел с помощью определенных цифр, знаков арифметических действий, а так же скобок.
2. Восстановление цифр натуральных чисел - 1 час
Задачи, где часть цифр чисел известна, а большая часть – нет, нужно найти все цифры , обозначенные звездочками, если ответов несколько, то требуется найти все.
3. Числовые ресурсы и мозаика -1 час
Задачи на восстановление записи при выполнении действий над натуральными числами, цифры обозначаются буквами, при этом добавляется важное условие: в одной и той же задаче одинаковые буквы означают одинаковые цифры.
4. Игра «Повтори пройденное, с помощью одного числа» -1 час
5. Раздел 2. Четность и нечетность чисел. Понятия четных и нечетных чисел. Проверка на четность. Числа одинаковой и разной четности. Свойства четных и нечетных чисел.
6. Раздел 3. Делимость чисел.
1. Четные и нечетные числа-1час
Признаки делимости. Лекция -1 час.
Число а делится на число b. Число а кратно числу b. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3,4,5,6,8,9,10,11,25.
2. Решение задач с использованием признаков делимости -1 час.
3. Теорема Ферма -1 час.
Определение и доказательство теоремы Ферма. Следствие из теоремы.
4. Задачи на делимость, связанные с теоремой Ферма -1 час.
Раздел 4. Решение логических задач.
1. Некоторые методы решения логических задач с целыми числами -1 час.
Методы рассуждений, таблиц, граф, кругов Эйлера, комбинированный
2. Мини – олимпиада -1 час.
Приложение
1. Задачи, предлагаемые для рассмотрения в 1 разделе
1) В примере 9*7*3*5*2=10 поставьте вместо каждой из звездочек знаки «+» и «-», чтобы равенство было верным.
2) В записи 1*2*3*4*5=100 замените каждую из звездочек знаками арифметических действий и расставьте скобки так, что бы получилось верное равенство.
3) В поврежденной рукописи в числовом примере удалось разобрать только одну цифру и два знака действий, остальные, неразличимые цифры обозначены «*»:
**
*8
**
***
****
Восстановите пример.
4) Восстановите запись:

****5 **
*7 ***

***
***
0
5) Восстановите деление с остатком, где все девять цифр различны.

*** **
** *
*
6)Восстановите запись
АВ. АВ=АСС
7) Имеет ли решение
а) АВС= АВ.ВС; б)АВСК=АВ. СК
8) Решите ребус
а) ЯПО =НИЯ; б) ИН =ДИЯ
9) Числа ТРИ, СТИХИ, СПОРТ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры, являются соответственно квадратом, кубом и четвертой степенью некоторых натуральных чисел. Что это за числа?
10) Докажите неравенство
ДВА.ШЕСТЬ  ДВАДЦАТЬ
Ответы
1) 9+7-3-5+2=10
2) 1.(2+3).5.4=100
3) 12.98=1176
4) 10185:97=105
5) 103:48=2(ост 7)
6) 12.12=144
7) а)210,310,410,510,610,710,810,910; б) не имеет
8) а)192=361; б)27=128
9) 168,2197,28561
2.Задачи, предлагаемые во втором разделе.
1) Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?
2) Найдите все целые значения а, при которых число х3 + ах2 + 5х + 9 нечетно для всех целых значений х.
3) Докажите, что в любой компании число тех людей, которые знакомы с нечетным числом членов компании, четно.
4) Какое наибольшее количество чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел нечетной.
5) Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы-117. Найдите номера всех домов этих кварталов.
Решение и ответы.
1.Из 17 натуральных чисел 8 четных и 9 нечетных. Сумма всех этих четных чисел - четна, сумма нечетных – нечетна. Тогда сумма всех 17 чисел нечетна.
2. Все четные а. Сумма х3+5х+9 при всех целых х нечетна. В таком случае произведение ах2 должно быть четным при всех целых х.
3. Число людей, которые имеют в компании нечетное число знакомых k, а число знакомых этих людей а1, …аk. Число людей, знакомых с четным числом членов компании n, а число знакомых этих людей b1,…bn. Тогда общее число знакомств равно
а1+…+аk+b1+…+bn
2
Чтобы эта дробь была равна целому числу, сумма должна быть четной. Но все слагаемые суммы нечетные, поэтому число k слагаемых суммы может быть только четным.
4. 5.
5. 31,33,35,37,39,41.
3. Задачи, предлагаемые в третьем разделе.
1) Докажите, что при любом целом а разность а2 – а делится на 2.
2) Докажите, что при любом целом а разность а3 – а делится на 3.
3) Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.
4) Докажите, что в прямоугольном прямоугольнике с целочисленными сторонами длина по меньшей мере одного из катетов, делится на 3.
Решение и ответы.
1. а2-а = а (а-1).
Из двух последовательных чисел одно является четным.
2. а3-а = (а-1) а (а+1).
Из трех последовательных целых чисел одно делится на 3, тогда произведение делится на 3.
3. а (а2-1)/3.
Если а2-1 делится на 3, то а2-1 = 3k, а2 = 3k+1.
4. х и у- длины катетов, z-гипотенуза
z2 = x2+y2 = (3k+1)+(3l+1) = 3(k+l)+2, где k и l- целые и неотрицательные числа. Но квадрат натурального числа z при делении на 3 не может давать в остатке 2.
4. Предлагаемые логические задачи:
1) Имеются кубики из картона и из дерева, большие и маленькие , зеленые и красные. Известно, что:
1. Зеленых кубиков 16;
2. Зеленых больших 6;
3. Больших зеленых из картона 4;
4. красных из картона 8;
5. красных из дерева 9;
6. Больших деревянных 7;
7. Маленьких деревянных 11.
Сколько всего кубиков?
2) Бригада строителей состояла из каменщиков, штукатуров, печников и разнорабочих (без специальностей). Все печники являлись каменщиками. Среди тех каменщиков, которые являлись еще и печниками, нет ни одного, который не был бы еще штукатуром. Все те каменщики, которые были еще штукатурами, оказались к тому же еще печниками. Кроме того, известно следующее:
1. Рабочих, владеющих только одной специальность, столько же, сколько разнорабочих.
2. Сумма удвоенного числа тех рабочих, которые были только штукатурами, и утроенного числа тех рабочих, которые были только каменщиками, равна 15.
3. Число рабочих, владевших только специальностью каменщика было в пять раз меньше, чем сумма числа 9 и утроенного числа рабочих, которые владели всеми специальностями.
Сколько рабочих в бригаде?
Решение и ответы.
1. 16+8+9 = 33.
2. х- только каменщики, у- владеющие тремя специальностями, z- только штукатуры, t- разнорабочие.
Решая систему уравнений
x+z = t,
2z+3x = 15,
5x = 9+3y.
получим х = 3, у = 2, z = 3, t = 6.
Используемая литература
1. Баблиская М.П. «Задачи математических олимпиад». М. Наука, 1975.
2. Глейзер Т.Д. «История математике в средне школе». М, 1970.
3. Соминский И.С. «Метод математической индукции». М. Наука 1974.
4. Математика «Приложение к 1 сентября» 26, июль, 1999.
5. Математика «Приложение к 1 сентября» сентябрь, 1999.
6. Е. Галкин «Задачи с целыми числами»
7. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. «Удивительный мир чисел». М., Просвещение, 1986.
8. Нагибин Р.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка», М., Просвещение, 1984.
Скачать Решение задач с целыми числами (программа элективного курса по математике)

Рекомендуем посмотреть:

Конспект урока математики в 5 классе Математическая игра для 5-6 классов «Скрат на уроке математики» Конспект урока математики в 5 классе. Десятичные дроби Каким должно быть домашнее задание по математике
Опубликовано: 404 дня назад (2 ноября 2015)
Просмотров: 1244
+1
Голосов: 1
Комментарии (1)
Светлана Александровна Иванова # 29 декабря 2015 в 16:50 0
Спасибо за вашу работу.